r u,v ( ) = x u,v ( )î + y u,v ( ) ĵ + z u,v ( ) ˆk

Transcripción

1 Supeficies Se ha visto que una cuva en el espacio se puede epesenta po una ecuación paamética del tipo: t = x t î + y t ĵ + z t ˆk En donde inteviene un solo paámeto t. La epesentación paamética de cuvas en el espacio es: x = x( t) ; y = y( t) ; z = z( t) Las supeficies se desciben en geneal po medio de ecuaciones paaméticas del tipo: x = x( u,v) ; y = y( u,v) ; z = z( u,v) Donde u y v son paámetos. Si se fija v = c = cte, entonces se tiene una expesión paamética que descibe una cuva en el espacio y es función de un solo paámeto u. Así paa cada v existe una cuva en el espacio. De modo simila si v vaia a lo lago de u = k = constante, el luga de todas las cuvas v = c y u = k es una supeficie. Los paámetos u y v las cuvas u, v se llaman coodenadas cuvilíneas del punto sobe la supeficie, y se llaman cuvas paaméticas. Si el punto teminal del vecto de posición genea la supeficie A, entonces se tiene: u,v = x u,v î + y u,v ĵ + z u,v ˆk

2 Sabemos que el vecto tangente a una cuva con paámeto u y v = c = constante, en cualquie punto P estaá dado po: u = u = x u î + y u ĵ + ˆk u De la misma manea el vecto tangente a una cuva con paámeto v y u= k = en cualquie punto P estaá dado po: v = v = x v î + y v ĵ + ˆk v constante, Po lo tanto un vecto unitaio pependicula tanto a u como a v estaá epesentado po: Un punto u,v ˆn = u v u v sobe una supeficie A se llama punto singula si u v = 0;de oto modo, se llama punto no singula. Si u y v son continuas, entonces los planos tangentes existen solamente en los puntos no singulaes. Geométicamente la condición paa que u v 0 es que las cuvas v = c y u = k no sean singulaes ni mutuamente tangentes en su punto de intesección.

3 Ecuación del plano tangente a una cuva. Consideando a una función escala φ de dos paámetos, en los cuales dichos paámetos son las vaiables x, y que son a su vez coodenadas de los ejes catesianos y que definen explícitamente a z, en donde además ϕ z 0 0 a una supeficie A que está definida po ϕ = ϕ ( x, y,z) = a con y a = constante se halla a pati del vecto de posición, el cual paa esta = xî + yĵ + z( x, y) ˆk El vecto nomal ˆn z = x, y función es: x, y Así el vecto tangente φ con paámeto y es: x = x x, y = î + x ˆk

4 y el vecto tangente φ con paámeto x está dado po: y = ( x, y) = ĵ + ˆk y y Realizando el poducto cuz ente estos dos vectoes: î ĵ ˆk x y = x y = î 0 x ĵ y + ˆk 1 Po tanto el vecto unitaio nomal es: ˆn = u v u v = x î y ĵ + ˆk x + y +1 Definiendo un punto que pase po la nomal y el punto de tangencia como P o x o, y o,z o y oto punto sobe el plano de tangencia A( x, y,z). Si calculamos el vecto que va de P o a y lo definimos como B el cual está dado po: B = R = ( x x o )î + ( y y o ) ĵ + ( z z o ) ˆk

5 Así este vecto B es pependicula a la nomal ˆn y po tanto su poducto punto es ceo. B ˆn = 0 ( x x o )î + y y o ĵ + ( z z o ) ˆk Realizando las multiplicaciones del poducto escala: x x o x p o + y y o y p o x î y ĵ + ˆk x + y + ( z z o ) = 0 = 0 +1 Esta es la ecuación del plano tangente a la cuva ϕ ( x, y,z) = a si aplicamos la egla de la cadena paa calcula las paciales especto a x, y obtenemos: x = x x = x y y = y y = y

6 En donde estas paciales son negativa dado que es necesaio despeja la función paa obtene la expesión de z = (x, y) sustituyendo en la expesión del plano tangente: ( x x o ) x x o x x p o y + ( y y o ) + ( y y o ) y + z z o p o + ( z z o ) = 0 p o = 0 Y esta es la ecuación del plano tangente a la cuva φ (x, y, z) = a, dado en función de las paciales especto de las coodenadas de la misma cuva, es de obsevase que las deivadas paciales están evaluadas en el punto po donde pasa la nomal, que es P o. La nomal a la cuva se puede calcula como: x y î + ĵ + ˆk ˆn = x y + +1 = x î + y ĵ + ˆk x + y + p o El vecto nomal tiene la diección de las deivadas especto a los ejes coodenados, esta nomal también está evaluada en P o.

7 Poblema. Encuente la ecuación del plano tangente a la supeficie dada en el punto especificado. 1).- z = y x ; p o ( 4,5,9) ; ).- z = sin x + y ; p o ( 1,3,0 ) 3).- z = ln x + y ; 4).- z = e x ln y ; p o ( 1, 1,0 ) ; p o ( 3,10,0) Solución. 1).- La función es: Y la nomal es: ϕ ( x, y,z) = z + x y = 0 x = x y = y = 1 ˆn = x î + y ĵ + ˆk x + y + p o = ( 4 )î + ( ) ĵ + ˆk La ecuación del plano tangente en el punto P o (-4,5,9) es: ( x x o )î + ( y y o ) ĵ + ( z z o ) ˆk ˆn = 0 ( x + 4)î + y 5 ĵ + ( z 9 ) ˆk = 8î 10 ĵ + ˆk 165 = 0 8î 10 ĵ + ˆk 165

8 ( x + 4 )( 8) + ( y 5) ( 10) + ( z 9) = 0-8x 3 10y z 9 = 0 ).- La función escala es: ϕ = sin x + y -8x 10y + z + 9 = 0 8x +10y z = 9 ) P o ( z, que está evaluada en; (1,-1,0) ϕ ( x, y,z) = z sin( x + y) = 0 Y la nomal es: x = cos x + y y = cos x + y = 1 ˆn = x î + y ĵ + ˆk x + y + p o = î ĵ + ˆk 3 La ecuación del plano tangente en el punto P o (1,-1,0) es: ( x x o )î + ( y y o ) ĵ + ( z z o ) ˆk ˆn = 0 ( x 1)î + y +1 ĵ + ( z 0 ) ˆk î ĵ + ˆk 3 = 0 ( x 1) ( 1) + ( y +1) ( 1) + ( z 0) ( 1) = 0 -x +1 y 1+ z = 0 x + y z = 0

9 3).- La función escala es: ϕ = z ln( x + y), que está evaluada en; P o (-1,3,0) ϕ ( x, y,z) = z ln( x + y) = 0 Y la nomal es: x = x + y y = 1 x + y = 1 ˆn = x î + y ĵ + ˆk x + y + p o = î ĵ + ˆk 6 La ecuación del plano tangente en el punto P o (-1,3,0) es: ( x x o )î + y y o ( x +1)î + y 3 ĵ + ( z z o ) ˆk ĵ + ( z 0 ) ˆk ˆn = 0 î ĵ + ˆk 6 = 0 ( x +1) ( ) + ( y 3) ( 1) + ( z 0) ( 1) = 0 -x y + 3+ z = 0 x + y z 1 = 0

10 4).- La función escala es: ϕ = z e x ln( y), que está evaluada en; P o (3,10,0) ϕ ( x, y,z) = z e x ln( y) = 0 Y la nomal es: ˆn = x î + y ĵ + ˆk x + y x = ex ln y + p o = La ecuación del plano tangente en el punto P o (3,10,0) es: ( x 3)î + y 10 ( x x o )î + y y o ĵ + ( z 0 ) ˆk y = ex y = 1 e 3 ln(10)î e3 10 ĵ + ˆk e 6 ĵ + ( z z o ) ˆk ( x 3) e 3 ln(10) + y 10 e 6 ln(10) ˆn = 0 e 3 ln(10)î e3 10 ĵ + ˆk e 3 ln(10) e3 = 0 e z 0 ( 1) = 0

11 Deivada dieccional Sea φ(x,y,z) una función escala continua y difeenciable en una egión R que contiene el aco C desde P hasta Q. Entonces, la deivada dieccional de φ(x,y,z) en P en la diección del vecto unitaio T tangente a C en P se define como: ϕ ( x, y,z) s = lim ϕ x + Δx, y + Δy,z + Δz Δs 0 Δs Donde Δs = ΔL es la función de la longitud de aco de C desde P hasta Q. Sabemos po cálculo que si se tiene una función φ(x,y,z) aplicando la egla de la cadena: L = dx x dl + dy y dl + dz dl En donde se puede ve este esultado como el poducto de dos vectoes a y b los cuales son: a = x î + y ĵ + ˆk y b = dx dl î + dy dl ĵ + dz dxî + dyĵ + dz ˆk ˆk = = d dl dl dl

12 Al pimeo de estos vectoes a se le define como el gadiente de una función escala φ(x,y,z) y se le epesenta po: ϕ = x î + y ĵ + ˆk El vecto b es la deivada del vecto de posición especto a la longitud de aco L( t) y es tangente a la cuva C en cualquie punto, y además es un vecto unitaio. b = d dl con b = 1 d dl = dxî + dyĵ + dz ˆk ( dx) + ( dy) + ( dz) = d d = b Se tiene entonces que dl = d = dx es así que la deivada dieccional se puede calcula como: + ( dy) + ( dz), peo no se puede deci que = L L = x î + y ĵ + ˆk dx dl î + dy dl ĵ + dz dl ˆk L = ϕ b En donde aplicando la definición altenativa de poducto punto tenemos: L = ϕ b cosθ

13 Así, la deivada dieccional seá máxima si la diección de ϕ es deci ϕ y b son colineales po tanto θ = 0 y de b son la misma, L max = ϕ Es deci, que la magnitud del gadiente ϕ diección de cecimiento de la función. y su diección es la de la máxima Poblema.- Halla la deivada dieccional de ϕ x, y, z diección de C epesentada po t = z y + y z + z x en (1,1,1) en la = tî + t ĵ + t 3 ˆk Solución.- sabemos que la deivada dieccional está dado po: b = d dl = î + tĵ + 3t ˆk 1+ ( t) + 3t L = ϕ b En donde x = x( t), que en la deivada del vecto de posición paa t = 1 b = î + ĵ + 3 ˆk 14 Evaluando en (1,1,1): ϕ = î + 3 ĵ + 5 ˆk y ϕ = z î + ( z + yz) ĵ + ( yz + y + zx) ˆk y con t = ( î + 3 ĵ + 5 ˆk î + ĵ + 3 ) ˆk 14 = 14 = 5.88

14 El valo absoluto de ϕ es: ϕ = = 35 = 5.9 De estos valoes podemos ve que el máximo valo de la deivada dieccional está dado en el valo absoluto de ϕ, y la diección de máximo cecimiento en el punto es la de la nomal a la tangente en el punto dado. Poblema.- Halla un vecto unitaio pependicula a la supeficie del paaboloide de evolución z = x +y en el punto p o (1,,5). Solución.- La función es: φ = z-x -y y el gadiente de esta función escala ϕ = xî yĵ + ˆk que evaluada en el punto dado es: ϕ = î 4 ĵ + ˆk Y la nomal es: î 4 ĵ + ˆk î 4 ĵ + ˆk ˆn = = Poblema. Halla la deivada dieccional de φ(x,y,z) = 4xz -3x y z, en el punto p o (,-1,), en la diección de A = î 3 ĵ + 6 ˆk. Solución.- ϕ = ( 4z 6xy z)î + ( 6x yz) ĵ + ( 8xz 3x y ) ˆk Evaluando en el punto p o (,-1,) ϕ po = 4 6( ) ( 1) ( ) î + 6 ( ) ( 1) ( ) ĵ + 8 ( )( ) 3( ) ( 1) ˆk

15 ϕ = 16 4 p o î + 48 ĵ + ( 3 1) ˆk = 8î + 48 ĵ + 0 ˆk Así, el gadiente dieccionado hacia el vecto unitaio de A es: L = ( ϕ ) ê î 3 ĵ + 6 = 8î + 48 ĵ + 0 ˆk p A o ˆk = 7 Y la deivada dieccional máxima es: = ϕ = = 5.61 L max Si ϕ x, y,z define como: Deivadas totales = 40 7 = 5.71 es una función deivable y continua, entonces su deivada total se ˆn = dϕ = dx + dy + dz dϕ = ( ϕ ) d x y Significado del gadiente de una función escala El gadiente de una función nos da la máxima apidez de cambio de una supeficie en un punto y la diección de este vecto esultante siempe es pependicula a la supeficie tangente en ese punto. Si etomamos la expesión del vecto nomal ˆn, es: x î + y ĵ + ˆk x + y + = ϕ ϕ Que muesta nuevamente la diección nomal a la supeficie tangente en un punto.

16 Opeado difeencial Nabla A pati de la deivada dieccional se define al opeado difeencial nabla, que se epesenta po ϕ y se escibe como: = x î + y ĵ + ˆk El cual no es un vecto, sino un opeado, peo puede considease como un vecto simbólico que sigue todas las eglas de los poductos vectoiales, además de que este opeado solo actúa sobe las funciones escalaes o vectoiales que estén enfente de el. Es deci la opeación epesentada po ϕ si tiene sentido de opeación de deivadas paciales dieccionales y cuyo esultado es un vecto, peo no ϕ que sigue teniendo el sentido de opeado. Po tanto, si apaece a la izquieda de una función el esultado es un vecto, y si apaece a la deecha de la función se tata de un opeado. En otas palabas solo opea sobe lo que le sigue. Las popiedades que cumple este opeado son: = c ϕ cϕ ( ϕ +ψ ) = ϕ + ψ ( ϕψ ) = ( ϕ )ψ +ϕ ψ Donde φ y ψ son funciones escalaes difeenciables en alguna egión del espacio y c es una constante.

17 Poblema.- Sea φ(u) una función que depende una vaiable u, que a su vez depende de las coodenadas catesianas x, y, z. Calcule el gadiente de φ(u). = ( u ) Solución.- Sabemos que el gadiente es: ϕ u x Aplicando la egla de la cadena paa cada vecto unitaio: x u = dϕ u du u x Sustituyendo en el gadiente Factoizando ϕ u ϕ u = dϕ ( u ) ; y u = dϕ ( u ) du du = dϕ u du u x î + dϕ u du u x î + u y ĵ + u u y ; u u y ĵ + dϕ u du ˆk ϕ u î + u y = dϕ ( u ) u du u = dϕ ( u ) ˆk du ĵ + ( u ) u ˆk Poblema.- Sea = x + y + z y la función ϕ esta función. = 1 Solución.- Aplicando el esultado obtenido peviamente: d dϕ = 1, calcula el gadiente de ϕ u = dϕ ( u ) du u

18 = 1 ( x + y + z ) 1 ( x)î + 1 ( x + y + z ) 1 ( y) ĵ + 1 ( x + y + z ) 1 ( z) ˆk Simplificando y educiendo facciones: = xî + yĵ + z ˆk = x + y + z = ê Y el esultado final es: ϕ ( u) = 1 ê Que es uno de los esultados más impotantes en física, ya que en este se basan la ley de Gavitación Univesal y la ley de Coulomb.

19 Rotacional de una función vectoial Si una función vectoial es f = f 1 î + f ĵ + f 3 ˆk, donde f 1, f, f 3 son funciones escalaes, entonces su poducto cuz o vectoial del opeado con la función es: f = î ĵ ˆk x y = î f 3 y f ĵ f 3 x f 1 + ˆk f x f 1 y f 1 f f 3 Oden de aplicación de las deivadas paciales. Al aplica sucesivamente deivadas paciales a una función escala especto de paámetos difeentes, el oden de aplicación de dichas deivadas paciales puede altease, peo el esultado sigue siendo el mismo. x = x ; y x = x y Po ejemplo si ϕ = 3x z + xy z su pacial especto de x es: x = 3+ y z Si ahoa calculamos la pacial especto de y nos queda: y x = yz Paa compoba este esultado cambiemos el oden de deivación. y = xyz Deivando especto de x obtenemos: x y = yz que es el mismo esultado.

20 Poblema.- Demueste que el otacional del gadiente de una función es ceo: ( ϕ ) = 0 Solución.- Sabemos que el gadiente de una función es: ϕ = x î + y ĵ + ˆk así aplicando el opeado difeencial en una opeación de otacional, obtenemos: î î ĵ ˆk y y ( ϕ ) = x x y y = ĵ x x + ˆk x y y x Cambiando el oden de aplicación de las deivadas paciales en un elemento de cada vecto unitaio, obtenemos: ( ϕ ) = î y y ĵ x x + ˆk y x y x = 0 Laplaciano de una función escala. Si una función escala tiene pimeas y segundas deivadas continuas entonces el opeado aplicado en poducto punto sobe una función de gadiente es ( ϕ ) = ϕ = función escala

21 Función escala amónica. Si al aplica el laplaciano a una función escala esta opeación da ceo, se dice que la función escala es amónica. Y al esultado de aplica el laplaciano se le conoce como la ecuación de Laplace. ϕ = 0 ecuación de Laplace ϕ es una función amónica Si al aplica el laplaciano a una función escala el esultado es difeente de ceo, dicho esultado se conoce como la ecuación de Poisson. ϕ = a ecuación de Poisson ϕ es una función no amónica Función solenoidal. Si al ealiza una opeación de divegencia sobe una función vectoial nos da ceo, se dice que la función es solenoidal. f = 0 f es solenoidal Función iotacional. Si al ealiza una opeación de otacional sobe una función vectoial nos da ceo, se dice que la función es iotacional. f = 0 f es iotacional

22 Poblema.- Siendo A = ( x z)î + y3 z en el punto (1,-1,1). ĵ + ( xy z) ˆk halla la divegencia A Solución.- A = x î + A = y ĵ + x x z A = xz ˆk + y y3 z ( x z)î + y3 z + ( xy ) + 6y z A = ( ) + ( 6) + ( 1) = 3 ĵ + ( xy z) ˆk + xy z Poblema.- Detemina la constante β de foma que el vecto en función de x, y, z dado po V = ( x + 3y)i + ( y z) j + ( x + βz)k sea solenoidal. Solución.- Un vecto es solenoidal si su divegencia es ceo. V = ( x x + 3y ) + ( y y z ) + ( x + βz ) = 0 V = 1+1+ β β = + β = 0

23 Poblema.- Si A = ( xz 3 )i + ( x yz) j + ( yz 4 )k halla A en el punto (1,-1,1) Solución A = x i" + y j" + k" ( xz3 )i " + x yz j " + yz 4 k " A = i x j y k xz 3 x yz yz 4 A = y yz 4 x yz i x yz 4 xz3 j + x x yz y xz3 k A = ( z 4 + x y)i + ( 3xz ) j + ( 4xyz)k A = 3 j + 4k

24 Poblema 1.- Halla ψ ψ = ( x + y + z )e x + y +z donde Solución: escibamos la función escala como ψ = e ψ = dψ d con = ψ = ( e e ) ψ = ( ) e Poblema.- Suponga que la tempeatua en un punto del espacio (x,y,z) está dada po 80 T ( x, y,z) = ( 1+ x + y + 3z ) Donde T está medido en gados Celsius y las vaiables x,y,z en metos. En que diección la tempeatua se incementa más ápido en el punto (1,1,-). Cuál es la máxima velocidad de cambio? Poblemas capítulo 3 Hwei P. Hsu: 3.70, 3.71, 3.7, 3.74, 3.76, 3.77, 3.79, 3.80, 3.8, 3.83, 3.84, 3.85, 3.87, 3.91, 3.95

25 Poblema.- Sean f y g dos funciones vectoiales, halla: f g Solución.- Sabemos que al se un poducto de funciones debeán aplicase las eglas de deivación de un poducto, peo sobe el vecto y posteiomente sobe f el vecto g, esto lo epesentaemos de la siguiente foma: ( f g ) = f ( f g ) + g ( f g ) En donde f indica que solo se aplica el opeado sobe la función f, y po lo tanto la aplicación del opeado g seá solamente sobe la función g. Aplicando la egla de ciclicidad al pime témino Dado que el opeado está aplicado sobe el vecto f f g = g ( f ) Aplicando la egla de ciclicidad al segundo témino Dado que el opeado está aplicado sobe el vecto f ( f g ) = g ( f f ) f, entonces es coecto. f g Aplicando la egla anticonmutativa al segundo témino g Finalmente obtenemos: = f g = g ( f ) f ( g ) g ( g f ) = f g g f g f g = g ( g f ), entonces no es coecto. f g g f = g

26 Poblema.- Sean f y g dos funciones vectoiales, halla: f g Solución.- Sabemos que al se un poducto de funciones debeán aplicase las eglas de deivación de un poducto, peo sobe el vecto y posteiomente sobe f el vecto g, esto lo epesentaemos de la siguiente foma: ( f g ) = f ( f g ) + g ( f g ) En donde f indica que solo se aplica el opeado sobe la función f, y po lo tanto la aplicación del opeado g seá solamente sobe la función g. Realizando el tiple poducto cuz del pime témino f f g El pime témino de este tiple poducto no tiene sentido, po lo que conmutamos el poducto punto f f g = g f f f g Realizando el tiple poducto cuz del segundo témino g El segundo témino de este tiple poducto no tiene sentido, po lo que conmutamos el poducto punto g f g f g = = g g f f g g f f g = ( f g ) f ( f f ) g ( f g ) = ( g f ) f ( f f ) g ( f g ) = ( g g ) f ( g f ) g ( f g ) = ( g g ) f ( f g ) g g + ( g ) f f

27 Poblema.- Sean f f f y g g = f " 1 i + f " j + f 3 k " g = f 1 dos funciones vectoiales, halla: ( ) x + f y + f 3 x î + y ĵ + g g = f 1 x + f g y + f g 3 f g Solución.- Sustituyendo diectamente las funciones y el opeado vectoiales Es deci, no se tata de la divegencia de ˆk g 1î + g ĵ + g ˆk 3 Poblema.- Sea f una función vectoial y ϕ una función escala, halla: ( f )ϕ = f 1 x + f ( f )ϕ = ( f " 1 i + f " j + f 3 k " ) y + f 3 x î + y ĵ + ϕ = f 1 x + f y + f 3 ˆk ϕ f g f g f ϕ Solución.- Sustituyendo diectamente las funciones y el opeado vectoiales Es deci, se tata del poducto punto de la función g en la diección de f f f ϕ = f ϕ con el gadiente de ϕ

28 Poblema Sea a un vecto constante y el vecto de posición demosta: a) a c) = 0 = a b) a a 3 a + = 0 d) a 1 + a 1 = 0 3 Solución.- Sean los vectoes a y : El poducto cuz de estos vectoes a y es: a = i j k a 1 a a 3 x y z a) La divegencia de este poducto vectoial es: ( a ) = za ya 3 x a = a 1 î + a ĵ + a 3 ˆk ; = xî + yĵ + z ˆk = î ( za ya 3 ) j( za 1 xa 3 ) + k ( ya 1 xa ) ( za xa 1 3) y + ( ya xa ) 1 = 0

29 b) El otacional de este poducto vectoial es: i j k ( a ) = x y ( za ya 3 ) za 1 xa 3 ( ya 1 xa ) = î ( a 1 + a 1 ) j( a a ) + k ( a 3 + a 3 ) = a c) Reescibiendo el inciso con el poducto punto de a y así como el poducto cuz nos queda: a a = xa + ya + za î ( za ya 3 ) j za 1 xa 3 3 El pime témino del lado deecho es el gadiente de un poducto de funciones escalaes: xa + ya + za = 1 xa 3 ( 1 + ya + za 3 ) + xa + ya + za ( 1 3) 1 3 a 3 a 3 a 3 a = + a 3 4 = 5 + k ( ya 1 xa ) El segundo témino del lado deecho es el otacional de un poducto de funciones escalaes: a 3 = 1 3 ( a ) + 1 ( a ) 3

30 Sustituyendo los esultados obtenidos peviamente nos queda a 3 a 3 = a = a 3 a 5 = a 3 ( a ) a ( a ) = ( ) a ( a ) 5 ( a ) = a ( a ) a 3 a ( a ) = Sustituyendo los esultados obtenidos peviamente nos queda a 3 a + a = 3 a d) a 1 + a 1 = 3 a 3 5 a a + 3 ( a ) = 0 5 a 3 a + 3 = 0 = a + 3 ( a ) 5

31 Poblema.- Sea el vecto de posición calcula: Solución.- Teniendo en cuenta que: ( 3 ) = ( 3 ) = xî + yĵ + z ˆk ; con 3 = 3 = = x + y + z = 3 = x i" + y j" + k" ( xî + yĵ + z ˆk ) = 3 ( 3 ) = ( 3 ) + 3 ( 3) = 3 ( ) = 6 3 Poblema.- Sea el vecto de posición y A = calcula: Solución.- El gadiente de la divegencia a calcula es: = 1 = = + 1 = A = = = 3